什么是jensen不等式？

一、什么是jensen不等式？

（Jensen）不等式 如果f(x)在(a,b)上是凸函数，x1，x2都在(a,b)上，证明不等式：f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立.

证明：证明f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立可以转化为证明f[(x1+x2)/2]-f(x1)≥f(x2)-f[(x1+x2)/2]成立.不妨设x1f’(ξ2)，所以{f[(x1+x2)/2]-f(x1)}-{f(x2)-f[(x1+x2)/2]}=(x2-x1)[ f’(ξ1)- f’(ξ2)]/2>0,所以f[(x1+x2)/2]-f(x1)>f(x2)-f[(x1+x2)/2]，所以f[(x1+x2)/2]>1/2[f(x1)+f(x2)].如果假设x10,是凹函数，故有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2].

二、[线代]二次型的矩阵

应该是 (x1^2)+2(x2^2)+3(x3^2)+4(x1x2)-4(x2x3) =(x1^2)+2(x2^2)+3(x3^2)+2(x1x2)-2(x2x3) +2(x2x1)-2(x3x2) 所以A= 1 2 0 2 2 -2 0 -2 3 把交叉项都一分为二，就可以了 ************* 把交叉项都一分为二，就可以了 (xi)(xj)这种交叉项全都分成两半 比如4(x1)(x2)=2(x1)(x2)+2(x2)(x1) 所以a12=2 a21=2 ********************* 再补充： x1=y1+y2 x2=y1-y2 可以说这就是套路。遇到题目就这么做就可以了。具体为什么你可以体会一下

三、怎么判断函数的单调性？

在函数的定义域内任取x1,x2且x1f(x2),则此函数在定义域内是减函数. 对于这道题来说，先取几个特殊值。 令x1=x2=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0）=0 令x1=-x2,则有f(0)=f(x1)+f(-x1),f(x1)=-f(-x1), 由f(x1)=-f(-x1)和“对任意X大于零，都有f(x)小于零”可知“对任意X小于零，都有f(x)大于零” 设x1<0 f(x1)-f(X2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2), 因为x1-x2<0，所以f(x1-x2)>0,所以f(x1)>f(x2),所以此函数在定义域内是减函数 就用这个方法最好 还有就是积分法

四、函数f(x) ,g(x)在区间[a,b]上都有意义,

证明：不妨令a<=x1<=b, 只要判断f(x1)*g(x1)-f(x2)g(x2)是大于0还是小于0即可。 因为f(x)是增函数，所以f(x2)>f(x1)>0; 又因为g(x)是减函数，所以g(x2)<0,很明显，f(x1)*g(x1)-f(x2)g(x2)>0，(靠近0的两个数相乘绝对值小于远离0的两个数相乘的绝对值)所以f(x)*g(x)在【a,b】上减函数。 证毕。(x1)>

五、4x的平方等于81

解： x^2=81/4 x=土9/2 ∴x1=9/2，x2=-9/2 不懂，请追问，祝愉快O(∩_∩)O~

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